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Sin el permiso de don Sergio y para responderle al compa perro (valiéndome de mi semestre inconcluso en Filología ), le puedo decir que ambos términos son correctos.
Apartamento procede del italiano Appartamento que a su vez tiene su raíz en el español Apartamiento.
Con "i" es utilizado principalmente en España (aunque allá normalmente dicen "Piso"). Este... mejor que Sergio se lo explique bien :-D
En efecto, ambos son correctos en el mundo del español, pero en América, se percibe que Apartamiento es incorrecto. De hecho, esa palabra ya casi no se usa ni en este ni en el otro lado del Atlántico. Saludos a todos.